1      Introduction             8

2      Modèles généraux de filtrage             12
        2.1     Description du problème de filtrage             12
        2.2     Quelques approches analytiques pour la résolution du problème de filtrage             15
                   2.2.1   Filtre de Kalman            15
                   2.2.2   Filtre de Kalman étendu (EKF)             18
                   2.2.3   Filtre IMM (Interacting Multiple models)             21
                   2.2.4  Conclusion             23
        2.3     Solution générale du problème de filtrage            24
                   2.3.1   Filtrage non linéaire             25
                   2.3.2   Filtrage linéaire             28
        2.4     Estimation par la méthode du maximum de vraisemblance             31
        2.5     Conclusion             32

3      Approximation par l'expansion en chaos de Wiener             33
        3.1     Approximation par la méthode de l'expansion en chaos de Wiener             34
        3.2     Développement de l'algorithme             42
        3.3     Méthode numérique pour approximer la solution de l'équation de Fokker-Planck             45
        3.4     Conclusion              47

4     Quelques exemples d'applications             50
        4.1     Principe de mesure d'un radar            51
        4.2     Premier modèle (radar passif)              51
        4.3     Deuxième modèle(radar actif)              54
        4.4     Troisième modèle (modèle d'Ornstein-Ulhembeek)            55
        4.5     Conclusion             57

5     Conclusion             58

6     Codes des programmes sur matlab             60
        6.1     Codes des programmes pour le premier modèle            60
        6.2     Codes des programmes pour le deuxième modèle            70
        6.3     Codes des programmes pour le troisième modèle             79

A     Processus de Markov et mouvement brownien             88
        A.1     Processus de Markov              88
        A.2     Mouvement brownien             89

B     Résultats graphiques            91
        B.1     Résultats graphiques pour le premier modèle            91
        B.2     Résultats graphiques pour le deuxième modèle            96
        B.3     Résultats graphiques pour le troisième modèle            98
 
 

4.1     Erreurs quadratiques pour le premier modèle             53

4.2     Erreurs quadratiques pour le deuxième modèle            55

4.3     Erreurs quadratiques pour le troisième modèle             57
 
 

3.1     Approximation de la densité gaussienne de moyenne 5 et d'écart type 2 par la base d'Hermite pour k = 10            48

3.2     Approximation de la densité gaussienne de moyenne 5 et d'écart type 2 par la base d'Hermite pour k = 40            49

B.1     Trajectoires réelle et prédite pour  k =10            91

B.2     Trajectoires réelle et prédite pour  k = 15            92

B.3     Trajectoires réelle et prédite pour  k = 30            92

B.4     Trajectoires réelle et prédite pour k = 50            93

B.5     Trajectoire réelle avec un nombre de points égal à 100            93

B.6     Trajectoire réelle avec un nombre de points égal à 500            94

B.7     Trajectoire réelle avec un nombre de points égal à 1000            94

B.8     Trajectoire réelle et prédite de l'abscisse x            95

B.9     Trajectoire réelle et prédite de l'ordonné y             95

B.10   Trajectoire réelle et prédite pour k = 10            96

B.11    Trajectoire réelle et prédite pour k = 15            97

B.12    Trajectoire réelle et prédite pour k =  30             97

B.13    Trajectoire réelle pour un nombre de points égales à 1000            98

B.14    Trajectoire réelle pour un nombre de points égales à 10000             99

B.15    Trajectoire réelle et prédite pour k = 10            99

B.16    Trajectoire réelle et prédite pour k = 15            100

B.17    Trajectoire réelle et prédite pour k = 30             100

24 avril 2003